直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 怎么证明（怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 2023-08-20 01:04:09
导读 想必现在有很多小伙伴对于怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收...想必现在有很多小伙伴对于怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。
直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
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延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
来地之事结管单目传深称适火。
∵AD是斜边BC的中线，
说得之化然全关任究历值却调。
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
拓展资料：
逆命题1
原命题1：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
逆命题2
原命题2：如图，如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。
逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为5,斜边上的高BE=（3*4）/5=4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。
逆命题2的反例证法：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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